泛函分析（一）

写在前面

本文是根据Kreyszig的《Introductory Functional Analysis with Applications》机翻而来，不保证中文术语的准确性。

第一章 度量空间 (Metric Spaces)

泛函分析是数学的一个抽象分支，起源于经典分析。 它的发展始于大约八十年前，如今泛函分析方法和结果在数学及其应用的各个领域都很重要。 其推动力来自于线性代数、线性常微分方程、偏微分方程、变分法、逼近论(approximation theory)，特别是线性积分方程(linear integral equations)，其理论对现代思想的发展和推广影响最大。

数学家观察到，不同领域的问题往往具有相关的特征和性质。 这一事实被用来对此类问题采取有效的统一方法，通过省略不必要的细节来实现统一。 因此，这种抽象方法的优点是它集中于基本事实，因此这些事实变得清晰可见，因为调查者的注意力不会受到不重要细节的干扰。 从这方面来说，抽象方法是处理数学系统最简单、最经济的方法。 由于任何这样的抽象系统通常都会有各种具体的实现（具体模型），因此我们看到抽象方法在具体情况的应用中具有很强的通用性。 它有助于将问题从孤立中解放出来，并在最初彼此没有联系的领域之间建立关系和过渡。

==在抽象方法中，通常从满足某些公理的一组元素开始。 元素的性质未指定。== 这是故意的。 ==该理论由由公理产生的逻辑结果组成，并且一劳永逸地导出为定理。== 这意味着，==以这种公理化的方式，人们获得了一种数学结构，其理论以抽象的方式发展==。 这些一般定理随后可以应用于满足这些公理的各种特殊集合。 例如，在代数中，这种方法与域、环和群结合使用。 在泛函分析中，我们将其与抽象空间结合使用； 这些都是非常重要的，我们将详细考虑其中的一些（巴纳赫空间、希尔伯特空间）。 我们将看到，在这方面，“空间”的概念被用于非常广泛且令人惊讶的普遍意义上。 抽象空间将包含满足某些公理的一组（未指定）元素。 通过选择不同的公理集，我们将获得不同类型的抽象空间。 以系统的方式使用抽象空间的想法可以追溯到 M. Frechet (1906)1，并因其巨大的成功而得到证实。 在本章中，我们考虑度量空间。 它们是泛函分析的基础，因为它们的作用类似于微积分中的实线 $\mathbf{R}$。 事实上，它们对 $\mathbf{R}$ 进行了概括，创建它们的目的是为统一处理各个分析分支的重要问题提供基础。 我们首先定义度量空间和相关概念，并用典型例子进行说明。 详细讨论了具有实际重要性的特殊空间。 人们对完备性的概念给予了很多关注，这是度量空间可能不具备的属性。 完备性将在整本书中发挥关键作用。

重要概念、主要内容简介

度量空间（参见1.1-1）是一个带有度量的集合$X$。 该度量与任意一对 $X$ 距离的元素（点）相关联。 度量是公理地定义的，公理是由实线 $\mathbf{R}$ 和复平面 $C$ 上的点之间的熟悉距离的某些简单属性所暗示的。基本示例（1.1-2 到 1.2-3）表明度量空间的概念 非常一般。 度量空间可能具有的一个非常重要的附加属性是完备性（参见 1.4-3），这将在第 2 节中详细讨论。 1.5 和 1.6。 另一个引起理论和实践兴趣的概念是度量空间的可分性（参见 1.3-5）。 可分离度量空间比不可分离度量空间更简单。

1.1 度量空间

在微积分中，我们研究在实线 $\mathbf{R}$ 上定义的函数。一点反思表明，在极限过程和许多其他考虑因素中，我们使用这样一个事实：在 $\mathbf{R}$ 上我们有一个可用的距离函数，称为 $d$，它与距离 $d(x, y) = |x - y|$，每对点 $x, y \in \mathbf{R}$。图 2 说明了这种表示法。 在平面上和“普通”的三维空间，情况也类似。 ![[截图_20241007203308.png]]

在泛函分析中，我们将研究更一般的“空间”和在其上定义的“泛函”。 我们得到了一个足够普遍和灵活的“空间”概念，如下所示。 ==我们将 $\mathbf{R}$ 中的实数集合替换为抽象集合 $X$（性质未指定的元素集合），并在 $X$ 上引入一个“距离函数”==，该函数仅具有 $\mathbf{R}$ 上距离函数的一些最基本属性。 但我们所说的“最基本”是什么意思呢？ 这个问题绝非微不足道。 事实上，定义中公理的选择和表述总是需要经验、对实际问题的熟悉以及对要达到的目标的清晰认识。 就目前而言，经过六十多年的发展，得出了以下概念，该概念在泛函分析及其应用中是基本且非常有用的。

1.1-1 定义（度量空间，度量） ==度量空间==是一对 $(X, d)$，其中 $X$ 是一个集合，$d$ 是 $X$ 上的==度量==（或 $X$ 上的==距离函数==），即在 $X \times X$[^1] 上定义的函数，使得对于所有 $x, y,z \in X$ 我们有：

(M1) $d$ 是实值、有限且非负的。 (M2) $d(x, y)=0$ 当且仅当 $x=y$ (M3) $d(x, y) = d(y, x)$ （对称性） (M4) $d(x, y)\leqslant d(x, z)+d(z, y)$。（三角不等式）。

一些相关术语如下。 $X$通常称为$(X,d)$的 底层集合(Underlying set) 。 它的元素称为点(points)。 对于固定的 $x, y$，我们将非负数 $d(x, y)$ 称为从 $x$ 到 $y$ 的距离。 属性(M1)至(M4)是==度量的公理==。 “三角不等式”这个名称源自初等几何，如图 3 所示。 ![[截图_20241007205530.png]] 从 (M4) 我们通过归纳得到广义三角不等式

如果不存在混淆的危险，我们可以简单地写成 $X$ 而不是 $(X, d)$。 (1) \(d\left(x_{1}, x_{n}\right) \leqq d\left(x_{1}, x_{2}\right)+d\left(x_{2}, x_{ 3}\right)+\cdots+d\left(x_{n-1}, x_{n}\right)\).

如果我们取子集 $Y \subset X$ 并将 $d$ 限制为 $Y \times Y$，则获得 $(X, d)$ 的子空间 $(Y, \tilde{d})$； 因此 Y 上的度量是限制[^2] \(\tilde{d}=\left.d\right|_{Y \times Y}\) $\tilde{d}$ 称为 $d$ 在 $Y$ 上导出的度量。 我们现在将列出度量空间的示例，其中一些读者已经熟悉了。 为了证明这些是度量空间，我们必须在每种情况下验证公理（M1）到（M4）是否得到满足。 通常，对于(M4)，这需要比对于(M1)至(M3)更多的工作。然而，在我们目前的例子中，这并不困难，因此我们可以将其留给读者（参见问题集）。 更复杂的度量空间（M4）不容易验证，将包含在下一节中。